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院子里升起了一团篝火。那修女捧着一本书,坐在门外的一块石头上,给围绕着她的孩子们讲故事。
艾拉在二楼默默地注视着他们,直到修女觉得天色太晚了让孩子们回房间休息,这期间孩子们的每一个动作,都透着对那位修女的喜爱。
如果这里不是亚伯拉罕正教会的教堂,而是七丘帝国的神庙,那些祭司们会收留赶路的人么?会收养被遗弃的儿童么?会让这些孩子们如此喜爱么?
——这种东西,应该还是看个人的吧?
艾拉甩了甩头,把刚刚出现在脑中的那种荒谬想法给甩了出去,然后掏出一叠纸来摆在桌子上。那上面是一些还没解决的几何问题。
其中一个是一条抛物线,一条线斜着切过它,与抛物线一同围成了一个弓形。戈特弗里德给艾拉的任务是计算这个弓形的面积。
艾拉想了想,以弓形的直边为底边,又在抛物线上选了一个点,一同连成了一个大三角形。然后以大三角形的另外两条边为底边,各自又选了抛物线上的一个点连成了两个小三角形。
艾拉凝视着这三个三角形。按戈特弗里德计算圆面积的方法,这些三角形如果不断绘制下去,它们的面积之和会越来越接近这个弓形的面积吧。
但是,这样绘制的三角形根据选点的不同,会有各种各样的大小,且无规律。如果要计算面积和,必须要制定一个统一的绘制规则。
艾拉叹了口气,把这张纸给撕了,重新画了一张。这一次,她把那根直线平行移动,直到切抛物线于一点。艾拉以这个点为顶点绘制了第一个大三角形。然后她用了同样的方法,绘制了下一级的两个三角形。
这样一来,问题立刻就变得清晰了。经过一段几何证明之后,艾拉发现这两个小三角形的面积和是大三角形的四分之一。且每一级的两个小三角形,面积之和都是前一级大三角形的四分之一。
艾拉暂定第一个大三角形的面积为a,这个弓型的面积为s,那么,弓型的面积就是这样的:
s=a+a4+a16+a64+…
这是一个无限扩张下去的算式,看起来绝对得不出结果。
——又是无限。
艾拉抛下笔,长长地叹了口气。能运算无限的,估计也只有数学之神了吧。
然而那个面积为一的正方形边长却在一旁警示着艾拉:不能就这样放弃。
用戈特弗里德的话来说,既然是一条有限的线段,那就不可能是无限的。同样的,这个弓型显然也是一个有限的面积,从几何上来看,它就在那里,与其他的图形相必并没有什么特别之处。
艾拉拍了拍脑袋,再次凝视着那个有限的图形,以及列在下方的那个无限扩展的算式。
突然间,她灵机一动,拿起笔将等式的两边同时乘了一个4。根据等式的法则,等式此时仍然成立。而这次,等式变成了下面的样子:
4s=4a+a+a4+a16+a64+…
艾拉注意到,等式右边的数字从第二项开始就和前一个等式完全相同。她用发抖的手把等式化简成了这样:4s=4a+s
无限延长的等式突然变成了一个有限的、简单的等式。即便是刚入门的小孩也能一眼得出结果:
s=4a3。弓型的面积是第一个大三角型面积的43
只是乘了一个4,,无限就变成了有限?
艾拉感觉头有些晕乎乎的,想不明白到底为什么会发生这种事情。如戈特弗里德所说,解决几何问题更多的是要依靠个人的技巧与一瞬间的灵感,与只要写出算式就能按部就班地得出结果的数是完全不同的。
而且,问题实际上并没有解决——这个大三角型的面积是多少?
不说这个大三角形的面积,实际上,艾拉甚至不知道如何描述这个抛物线。知道半径可以确定一个唯一的圆,知道长和宽可以确定一个唯一的长方型,知道三条边可以确定一个唯一的三角形。可需要什么参数,才能确定一条唯一的抛物线?
“万物皆数……么?”
艾拉再一次把目光投向了窗外,世界是如此的广阔,银河是如此的璀璨,如果说“万物皆数”是正确的,那么这世界上所有的一切,以及其运动的过程、方式,都能用数和公式来表现?
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